已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD

Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+√(3)，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由．

Answer 1

（I）如下图所示：

由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC
∴DE⊥面ABCE．
∴DE⊥BC，又BC⊥CE，
∴BC⊥面DCE
（II）取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD．
（III）分析可知，R点满足3AR=RE时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ
容易计算CD=2，BD=2√(2)，CR=(√(13))/(2)，DR=(√(21))/(2)，CQ=√(2)，
在△BDR中
∵BR=(√(5))/(2)，DR=(√(21))/(2)，BD=2√(2)，可知RQ=(√(5))/(2)，
∴在△CRQ中，CQ²+RQ²=CR²，
∴CQ⊥RQ．
又在△CBD中，CD=CB，Q为BD中点
∴CQ⊥BD，
∴CQ⊥面BDR，
∴面BDC⊥面BDR．