如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=9，点E在BC边上，BE=4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG=BE．（1）求证：四边形BEGF是平行四边形；（2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长

Question

如图，矩形ABCD中，AB=√(3)，BC=9，点E在BC边上，BE=4，点F，G在线段AD上运动（点F在点G的左侧），且始终保持FG=BE．
（1）求证：四边形BEGF是平行四边形；
（2）当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长；
（3）将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连结B′G（如图2），当以点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形时，直接写出线段DG的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵FG=BE，
∴四边形BEGF是平行四边形；
（2））∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9，∠BAD=90°，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BF=FG=BE=4，
在Rt△ABF中，AF=√(BF2-AB2)=√(13)，
∴DG=AD-AF-FG=9-4-√(13)=5-√(13)；
（3）∵△BEF沿EF折叠得到△B′EF，
∴∠BFE=∠B'FE，
∵点B′，G，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BFE=∠B'FE=90°，
∴∠AFB+∠EFG=90°，
∵∠EFG=∠BEF，
∴∠AFB=∠BEF，
∵∠A=∠BFE=90°，
∴△ABF∽△FEB，
∴(AB)/(EF)=(BF)/(BE)，
∴(√(3))/(EF)=(BF)/(4)①
在Rt△BEF中，BF²+EF²=16②
联立①②得出BF=√(2)或BF=2√(3)，
∵BE是Rt△ABF斜边，而BE<AB，
∴BE=√(2)，不成立，
∴BF=2√(3)，根据勾股定理得，AF=3，
∴DG=AD-AF-FG=9-3-4=2．