如图，已知点E是矩形ABCD的边AB上一点，BE：EA=5：3，EC=155，把△BEC沿折痕EC向上翻折，若点B恰好在AD上，设这个点为F．（1）求AB、BC的长度各是多少？（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四

Question

如图，已知点E是矩形ABCD的边AB上一点，BE：EA=5：3，EC=15√(5)，把△BEC沿折痕EC向上翻折，若点B恰好在AD上，设这个点为F．
（1）求AB、BC的长度各是多少？
（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，求⊙O的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）
∵F在AD上，∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC（3分）
∴(AE)/(DF)＝(AF)/(DC)．（4分）
∵BE：EA=5：3
设BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴(3k)/(DF)＝(4k)/(8k)
∴DF=6k
∴BC=AD=10k（5分）
在△EBC中，根据勾股定理得BE²+BC²=EC²
∵CE=15 √(5)，BE=5k，BC=10k
∴(5k)2+(10k)2＝(15√(5))2
∴k=3（6分）
∴AB=8k=24，BC=10k=30（7分）

（2）连接OB，
由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，
则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=15 √(5)²，
解得：x=3，则BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，则 (1)/(2)×BE×BC=(1)/(2)×BE×r+(1)/(2)×BC×r，
解得：r=10；
则⊙O的面积为πr²=100π．