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(2006•上海)已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常数,且m>1
题目详情
(2006•上海)已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.
(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA,OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.
(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;
(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA,OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);
(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AP=2PB=PB+BO=PO,
∴AO=2PO.
∴
=
=2.(2分)
∵PO=CO,(1分)
∴
=
.
∵∠COA=∠BOC,
∴△CAO∽△BCO.(1分)
(2)设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,
∵OP是OA,OB的比例中项,
∴x2=(x-1)(x+m).(1分)
∴x=
.
即OP=
.(1分)
∴OB=
.(1分)
∵OP是OA,OB的比例中项,即
=
,
∵OP=OC,
∴
=
.(1分)
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,
∵∠AOC=∠COB,
∴△CAO∽△BCO.(1分)
∴
=
.(1分)
∴
=
=
=m.
当点C与点P或点Q重合时,可得
=m,
∴当点C在圆O上运动时,AC:BC=m.(1分)
(3)由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),AC+BC=(m+1)BC,
⊙B和⊙C的圆心距d=BC,
显然BC<(m+1)BC,∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含.
当⊙B与⊙C相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2,
∵m>1,
∴1<m<2;(1分)
当⊙B与⊙C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2;(1分)
当⊙B与⊙C内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.(1分)
∴AO=2PO.
∴
AO |
PO |
PO |
BO |
∵PO=CO,(1分)
∴
AO |
CO |
CO |
BO |
∵∠COA=∠BOC,
∴△CAO∽△BCO.(1分)
(2)设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,
∵OP是OA,OB的比例中项,
∴x2=(x-1)(x+m).(1分)
∴x=
m |
m−1 |
即OP=
m |
m−1 |
∴OB=
1 |
m−1 |
∵OP是OA,OB的比例中项,即
OA |
OP |
OP |
OB |
∵OP=OC,
∴
OA |
OC |
OC |
OB |
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时,
∵∠AOC=∠COB,
∴△CAO∽△BCO.(1分)
∴
AC |
BC |
OC |
OB |
∴
AC |
BC |
OC |
OB |
OP |
OB |
当点C与点P或点Q重合时,可得
AC |
BC |
∴当点C在圆O上运动时,AC:BC=m.(1分)
(3)由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),AC+BC=(m+1)BC,
⊙B和⊙C的圆心距d=BC,
显然BC<(m+1)BC,∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含.
当⊙B与⊙C相交时,(m-1)BC<BC<(m+1)BC,得0<m<2,
∵m>1,
∴1<m<2;(1分)
当⊙B与⊙C内切时,(m-1)BC=BC,得m=2;(1分)
当⊙B与⊙C内含时,BC<(m-1)BC,得m>2.(1分)
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