Dn=a+bab0……001a+bab……0001a+b……00………………………………………………1a+bab000……1a+b求证Dn=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b)(a≠b)

Question

Dn=
a+b ab 0 …… 0 0
1 a+b ab …… 0 0
0 1 a+b …… 0 0
…… …… …… …… …… ……
…… …… …… 1 a+b ab
0 0 0 …… 1 a+b
求证 Dn=(a^(n+1)-b^(n+1))/(a-b) (a≠b)

Answer 1

证明:
按第1列展开得: Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2).
用归纳法证明
当n=1时, D1=a+b
[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)=(a^2-b^2)/(a-b)=a+b
所以n=1时结论成立.
假设k=n-1时结论成立, 则k=n时
Dn=(a+b)D(n-1) - abD(n-2)
=(a+b){[a^(n-1+1)-b^(n-1+1)]/(a-b)} - ab{[a^(n-2+1)-b^(n-2+1)]/(a-b)}
=(a+b){[a^n-b^n]/(a-b)} - ab{[a^(n-1)-b^(n-1)]/(a-b)}
= [a^(n+1)-b^(n+1)-ab^n+ba^n-ba^n+ab^n]/(a-b)
= [a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
所以k=n时结论也成立.
综上可知, 对任意自然数n, Dn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b).