如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在BC,AD上的点,且AE=CD,AD与BE相交于F,CF垂直BE,求BF=2AF

Question

如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在BC,AD上的点,且AE=CD,AD与BE相交于F,CF垂直BE,求BF=2AF

Answer 1

证明：
在BE上截取BP=AF,连结CP
在等边△ABC中,∵AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°
又∵AE=CD,
∴BD=CE,
∴△ABE≌△ACD,△ABD≌△BCE,
∴∠CAD=∠ABE,∠PBC=∠FAB
∴△AFB≌△BPC,
∴∠BPC=∠AFB,PC=FB
又∵∠CAD+∠FAB=60°,
∴∠FAB+∠ABF=60°
∴∠AFB=120°,
又∵△AFB≌△BPC,
∴∠BPC=∠AFB=120°,
∴∠FPC=60°
又∵∠PFC=90°,
∴∠FCP=30°,
∴PF=1/2PC=1/2BF,
∴BP=1/2BF
又∵BP=AF,
∴AF=1/2BF,
∴BF=2AF