如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（3）求三棱锥C-BEF的

Question

如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，
∴CB⊥AF
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF，BC⊂平面CBF，
∴AF⊥平面CBF
（2）设DF的中点为N，
∵FC的中点为M，
∴MN∥CD，MN=(1)/(2)CD
∵四边形ABCD为矩形
∴AO∥CD，AO=(1)/(2)CD
∴MN∥OA，MN=OA
∴四边形MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面ADF，
∴OM∥平面ADF
（3）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH=60°，
∴EH=(√(3))/(2)，EF=AB-2HB=1，
故S△BEF＝(1)/(2)×1×(√(3))/(2)＝(√(3))/(4)
∵CB⊥平面ABEF
∴三棱锥C-BEF的高为CB=1
∴VC−BEF＝(1)/(3)×S△BEF×BC＝(1)/(3)×(√(3))/(4)× 1＝(√(3))/(12)