如图，设C、D是以O为圆心、AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作⊙O的切线交直线CD交于P，直线PO与直线CA、AD分别交于点E、F．证明：OE=OF．

Question

如图，设C、D是以O为圆心、AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作⊙O的切线交直线CD交于P，直线PO与直线CA、AD分别交于点E、F．证明：OE=OF．

Answer 1

证明：过O作OM⊥CD于M，连结BC、BM、BD、BE，如图，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，∠OMD=90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴∠OBP=90°，
∴∠OMP+∠OBP=180°，
∴O、B、P、M四点共圆，
∴∠BMP=∠BOP，
∵∠BOP=∠AOE，
∴∠BMP=∠AOP，
∵∠MDB=∠EAO，
∴△OAE∽△MDB，
∴(AE)/(BD)=(AO)/(DM)，
∵DM=(1)/(2)CD，OA=(1)/(2)AB，
∴(AE)/(BD)=(AB)/(CD)，
而∠CDB=∠BAE，
∴△BAE∽△CDB，
∴∠EBA=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠EBA=∠BAD，
∴AD∥BE，
∴△OBE∽△OAF，
∴(OE)/(OF)=(OB)/(OA)，
而OB=OA，
∴OE=OF．