如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC．（1）求证：BC∥OP；（2）若半圆O的半径等于2，填空：①当AP=时，四边形OAPC是正方形；②当A

Question

如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC．

（1）求证：BC∥OP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP=___时，四边形OAPC是正方形；
②当AP=___时，四边形BODC是菱形．

Answer 1

（1）证明：连接OC，AC，如右图所示，
∵AB是直径，AM⊥AB，
∴BC⊥AC，AP是圆的切线，
∵PC切半圆O于点C，
∴PA=PC，
又∵OA=OC，
∴OP⊥AC，
∴BC∥OP；
（2）①若四边形OAPC是正方形，则OA=AP，
∵OA=2，
∴AP=2．
故答案为：2；
②若四边形BODC是菱形，则CB=BO=OD=DC，
∵AB=2OB，∠ACB=90°，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠ABC=60°，
又∵∠OAP=90°，OA=2，
∴∠OPA=30°，
∴OP=4，
∴AP=√(OP2-OA2)=√(42-22)=2√(3)，
故答案为：2√(3)．