设u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足∂2u∂x∂y≠0及∂2u∂x2+∂2u∂y2＝0，则（）A．u（x，y）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上B．u

Question

设u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足(∂2u)/(∂x∂y)≠0及(∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)＝0，则（　　）

A．u（x，y）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上
B．u（x，y）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部
C．u（x，y）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上
D．u（x，y）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上

Answer 1

u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，所以u（x，y）在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点（x₀，y₀），也就是(∂u)/(∂x)＝(∂u)/(∂y)＝0，在这个点处A＝(∂2u)/(∂x2)，C＝(∂2u)/(∂y2)，B＝(∂2u)/(∂x∂y)＝(∂2u)/(∂y∂x)，由条件，显然AC-B²＜0，显然u（x，y）不是极值点，当然也不是最值点，所以u（x，y）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．
故选：A．