已知2次函数f(x)=ax2+bx对任意x属于R均有f(x-4)=f(2-x)成立,且函数的图像过点A（1,3/2）.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）若不等式f(x-t)≤x的解集为〔4,m〕,求实数t、m的值.

Question

已知2次函数f(x)=ax2+bx对任意x属于R均有f(x-4)=f(2-x)成立,且函数的图像过点
A（1,3/2）.
（1） 求函数y=f(x)的解析式；
（2） 若不等式f(x-t)≤x的解集为〔4,m〕,求实数t、m的值.

Answer 1

（1）
f（x-4）=a（x-4）²+b（x-4）=ax²-8ax+16a+bx-4b=ax²+（b-8a）x+16a-4b
f（2-x）=a（2-x）²+b（2-x）=ax²-4ax+4a+2b-bx =ax²-（4a+b）x+4a+2b
则 b-8a=-4a-b → 4a=2b → 2a=b ①
16a-4b=4a+2b → 12a=6b → 2a=b ②
把A（1,3/2）带入函数f(x)=ax²+bx,得 a+b=3/2 ③
根据①②③,解得 a=1/2 b=1
函数y=f(x)的解析式为f（x）=1/2x²+x
（2）
f(x-t)≤x
1/2（x-t）²+（x-t）≤x
1/2x²-tx+1/2t²+x-t≤x
1/2x²-tx+1/2t²-t≤0
根据题意可得 1/2*4²-4t+1/2t²+4-t=0 → 1/2t²-5t+8=0 → t²-10t+16=0 ①
1/2*m²-mt+1/2t²-t=0 → m²-2mt+t²-2t=0 ②
解①,（t-2）（t-8）=0,则t=2或8
把t=2带入②得,m²-4m=0 → m（m-4）=0 → m=4或0,都不符合要求,故舍去.
把t=8带入②得,m²-16m+48=0 → （m-12）（m-4）=0 → m=4或12,舍去4.
所以 t=8,m=12.