（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）=1.(1)求f（x）的解析式;(2)在区间上,y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

Question

（本小题满分12分）二次函数f（x）满足 且f（0）=1.
(1)求f（x）的解析式;
(2)在区间 上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

Answer 1

(1)设f（x）=ax ² +bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax ² +bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1) ² +b(x+1)+1-(ax ² +bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以 ,∴f(x)=x ² -x+1.
(2)由题意得x ² -x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x ² -3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x ² -3x+1-m,其图象的对称轴为直线x= ,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即1 ² -3×1+1-m>0,解得m<-1.        

略