上限pi,下限0,∫（xsinx）^2dx,答案是pi^3/6-pi/4,怎么做?

Question

上限pi,下限0,∫（xsinx）^2dx,答案是pi^3/6-pi/4,怎么做?

Answer 1

∫(xsinx)^2dx
=∫x^2 * (1 -cos2x)/2 dx
=∫ [x^2 /2 - (x^2*cos2x)/2] dx
显然
∫ x^2 /2 dx=x^3 /6 +C
而
∫(x^2*cos2x)/2 dx
=∫ (x^2)/4 d(sin2x) 分部积分法
= (sin2x *x^2) /4 - ∫ (sin2x) d(x^2)/4
= (sin2x *x^2) /4 - ∫ x*(sin2x)/2 dx
而
∫ x*(sin2x)/2 dx
=∫ -x/4 *d(cos2x)
= -x/4 *cos2x +∫ cos2x d(x/4)
= -x/4 *cos2x + sin2x /8
所以
∫(x^2*cos2x)/2 dx
=(sin2x *x^2) /4 - ∫ x*(sin2x)/2 dx
=(sin2x *x^2) /4 - (-x/4 *cos2x + sin2x /8) +C
=(sin2x *x^2) /4 +x/4 *cos2x - sin2x /8 +C
于是
∫(xsinx)^2dx
=∫ [x^2 /2 - (x^2*cos2x)/2] dx
= x^3 /6 - (sin2x *x^2) /4 -x/4 *cos2x + sin2x /8 +C
代入上限pi,下限0
所以原定积分
=pi^3/6 -pi/4
就是你要的答案