已知函数f(x)=(1+x)-x(1+λx)/（1+x).（1）若x≥0时，f(x)≤0,求λ值（2）设数列｛an｝的通项an=1+1/2+1/3+……+1/n,证明a2n-an+1/4n＞ln2.

Question

已知函数f(x)=(1+x)-x(1+λx)/（1+x).
（1）若x≥0时，f(x)≤0,求λ值
（2）设数列｛an｝的通项an=1+1/2+1/3+……+1/n,证明a2n-an+1/4n＞ln2.

Answer 1

(1)

将(1+x)-x(1+λx)/(1+x)<=0化简

过程:

(1+x)<=x(1+λx)/(1+x)

(1+x)^2<=x(1+λx)

1+2x+x^2<=x+λx^2

(λ-1)x^2-x-1>=0

1. λ=1时x<=-1不符合题意

2. 只有(λ-1)x^2-x-1方程只有一个解或者无解时，不等式恒成立，所以 1+4(λ-1)<=0,

3. 解得λ<=4/3

(2)