如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）

Question

如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当 -(1)/(2) ≤x≤(1)/(2) 时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．

Answer 1

（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又设 (1)/(2) ≤x≤ (3)/(2) ，则- (1)/(2) ≤1-x≤ (1)/(2) ，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再设n- (1)/(2) ≤x≤n+ (1)/(2) （n∈z），
当n=2k（k∈z），2k- (1)/(2) ≤x≤2k+ (1)/(2) ，则- (1)/(2) ≤x-2k≤ (1)/(2) ，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
当n=2k+1（k∈z），2k+1- (1)/(2) ≤x≤2k+1+ (1)/(2) ，则 (1)/(2) ≤x-2k≤ (3)/(2) ，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴对于，n- (1)/(2) ≤x≤n+ (1)/(2) （n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1- (1)/(2) ≤x+1≤n+1+ (1)/(2) ，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期为1的函数．
①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．
∴y=mx过（ (2013)/(2) ， (1)/(2) ），从而得m= (1)/(2013)
②当m＜0时，同理可得m=- (1)/(2013)
③当m=0时，不合题意．
综上所述m=± (1)/(2013) …（14分）