已知函数f（x）=ex，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与函数y=lnx的图象相切，求实数k的值．（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．

Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与函数y=lnx的图象相切，求实数k的值．
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）设直线y=kx+1与函数y=g（x）=lnx的图象相切于点P（x₀，y₀），
则kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=(1)/(x0)，
即有lnx₀=2，x₀=e²，k=e-2；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，曲线f（x）=e^x与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
即方程f（x）=mx²的根的个数．
由f（x）=mx²即m=(ex)/(x2)，h′（x）=(ex(x−2))/(x3)，
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为(e2)/(4)．
∴对曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
讨论如下：
当m∈（0，(e2)/(4)），有0个公共点；
当m=(e2)/(4)时，有1个公共点；
当m∈（(e2)/(4)，+∞），有2个公共点．