求二元函数z=x2y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴，y轴所围闭区域上的最大（小）值．

Question

求二元函数z=x²y（4-x-y）在由直线x+y=6，x轴，y轴所围闭区域上的最大（小）值．

Answer 1

令

(∂z)/(∂x)＝xy(8−3x−2y)＝0

(∂z)/(∂y)＝x2(4−x−2y)＝0

⇒

3x+2y＝8

x+2y＝4

⇒f（x，y）的唯一驻点：（2，1），
且有z|_（2，1）=4．
在边界x=0，y=0上均有z=0．
在边界x+y=6上，
将y=6-x代入函数得，
z=2x³-12x²．
令(dz)/(dx)＝6x2−24x＝6x(x−4)＝0得x=4，
此时，z|_（4，2）=-64，
故所求函数的最大值为z|_（2，1）=4，
所求函数的最小值为z|_（4，2）=-64．