高等数学：由函数的极限判断函数的极值的问题设lim[f(x)-f(a)]/(x-a)^2在x趋向a时极限值为1,则f(x)在x=a处（）（A）导数存在,但f'(a)不等于1（B）取得极大值（C）取得极小值

Question

高等数学：由函数的极限判断函数的极值的问题 设lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 在x趋向a时极限值为1,则f(x)在x=a处（）
（A）导数存在,但f'(a)不等于1 （B）取得极大值
（C）取得极小值 （D）导数不存在
答案是C,为什么?推导过程?

Answer 1

首先,x趋向a时lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 =1
所以必有f(x)在a点连续且lim [f(x)-f(a)]/(x-a)=0
即f(x)在a点可导,且f'(a)=0.
其实要证明C很容易,由f(x)在a点连续,lim [f(x)-f(a)]/(x-a)^2 在x趋向a时极限值为1
由于在x趋向a时分母(x-a)^2始终为正数,由极限的保号性,分子也必然为正数
因此在a点附近的邻域有f(x)-f(a)>0,即f(x)>f(a).