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求曲面z=xy含在圆柱面x^2+y^2=R^2内部的那部分面积.
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求曲面z=xy含在圆柱面x^2+y^2=R^2内部的那部分面积.
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答案和解析
∵z=xy ==>αz/αx=y,αz/αy=x
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√(1+x²+y²)dxdy
故 所求面积=∫∫dS (S表示所求面积在xy平面的投影：x²+y²=R²)
=∫∫√(1+x²+y²)dxdy
=∫dθ∫√(1+r²)rdr (作极坐标变换)
=(2π)(1/3)[(1+R²)^(3/2)-1]
=2π[(1+R²)^(3/2)-1]/3.
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√(1+x²+y²)dxdy
故 所求面积=∫∫dS (S表示所求面积在xy平面的投影：x²+y²=R²)
=∫∫√(1+x²+y²)dxdy
=∫dθ∫√(1+r²)rdr (作极坐标变换)
=(2π)(1/3)[(1+R²)^(3/2)-1]
=2π[(1+R²)^(3/2)-1]/3.
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