（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时

Question

（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

Answer 1

（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B
∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴(PQ)/(AC)＝(QB)/(BC)＝(PB)/(AB)，即 (PQ)/(3)＝(QB)/(4)＝(x)/(5)
∴PQ＝(3)/(5)x，QB＝(4)/(5)x
S_△APQ=(1)/(2)PQ×AQ
=−(6)/(25)x2+(3)/(2)x
=−(6)/(25)(x−(25)/(8))2+(75)/(32)
∴当x=(25)/(8)时，△APQ的面积最大，最大值是(75)/(32)；

（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP
∴AQ=AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP
∴AQ=QB
∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
∴BC=√(3)AC
∴λ=√(3)时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．