已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD-DC-CB方向顺时针作折线运动

Question

已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）当运动时间为___ 秒时，点P与点Q相遇；
（2）当AP∥CQ时，求线段DQ的长度；
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、A为顶点的三角形的面积S，并指出相应t的取值范围；
（4）连接PA，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等时，求t的值．

Answer 1

（1）设t秒后P、Q相遇．
由题意（4+1）t=12，
∴t=(12)/(5)秒，
∴(12)/(5)秒后P、Q相遇．
故答案为(12)/(5)．

（2）如图1中，

由图象可知，AP∥QC时，∵AQ∥PC，
∴四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ=PC，
∴4t=4-t，
∴t=(4)/(5)，此时DQ=AD-AQ=4-(4)/(5)×4=(4)/(5)．

（3）①如图2中，当0<t≤1，点Q在AD上时，S=(1)/(2)×4t×4=8t．

②如图3中，当1<t≤2，点Q在CD上时，S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△ABP-S_△PQC=16-(1)/(2)×4×（4t-4）-(1)/(2)×4×t-(1)/(2)×（4-t）（8-4t）=-2t²+2t+8．

③如图4中，当2<t≤(12)/(5)，点Q在BC时时，S=(1)/(2)×[4-t-（4t-8）]•4=-10t+24．

综上所述，S=

8t	(0<t≤1)
-2t2+2t+8	(1<t≤2)
-10t+24	(2<t≤(12)/(5))

．

（4）如图5中，

①当DQ₁=BP时，△CDQ₁≌△ABP，此时4-4t=t，t=(4)/(5)s．
②当DQ₂=BP时，△ADQ₂≌△ABP，此时4t-4=t，t=(4)/(3)s．
③当CQ₃=BP时，△BCQ₃≌△ABP，此时8-4t=t，t=(8)/(5)s．
④当BQ₄=BP时，△ABQ₄≌△ABP，此时P与Q重合，t=(12)/(5)s
综上所述，t为(4)/(5)s或(4)/(3)s或(8)/(5)s或

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