如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动其中点P从A出发沿AC边一直移动到点C为止,点Q从B出发沿BA边一直移动到点A为止.1.写出AP的长y1和Aq的长y2关于时间t的函数,并分别

Question

如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动
其中点P从A出发沿AC边一直移动到点C为止,点Q从B出发沿BA边一直移动到点A为止.1.写出AP的长y1和Aq的长y2关于时间t的函数,并分别写出它们的定义域2、经过多少时间后,△APQ与△ABCD相似3.在整个过程中,是否存在使△APQ的面积恰好为△ABCD面积一半的情况,若存在,请问此时点Q运动了多少时间.

Answer 1

（1）由题意得：y1=2t（0≤t≤6）,y2=16-t（0≤t≤16）．（4分）
（2）当0≤t≤6时,
①若QP∥BC,则有△AQP∽△ABC．
∴AQAB=APAC．
∵AB=16cm,AC=12cm,AP=2t,AQ=16-t,
∴16-t16=2t12,
解得：t=4811（2分）
②∵∠A=∠A,若∠AQP=∠C,
则有△AQP∽△ACB
∴AQAC=APAB
∴16-t12=2t16,
解得：t=6.4、（不符合题意,舍去）（1分）
当6≤t≤16时,点P与C重合
∵∠A=∠A,只有当∠AQC=∠ACB时,有△AQC∽△ACB,
∴AQAC=ACAB
∴16-t12=1216,
解得：t=7 （1分）
综上所述：
在0≤t≤6中,当t=4811时,△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中,当t=7时,△AQC∽△ACB （1分）
（3）当0≤t≤6时,过点P、C分别作AB的垂线,垂足为D、E,
∴PD=APsin∠A,CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面积恰好为△ABC面积一半,
那么S△APQS△ABC=AQ��PDAB��CE,
∴AQ��PDAB��CE=12,
得：t2-16t+48=0,
解得：t=4或者t=12（舍去）（2分）．
当6≤t≤16时,点P与C重合,
即S△AQCS△ABC=AQAB,
如果△AQC的面积恰好为△ABC面积一半,
那么16-t16=12,
解得：t=8 （1分）．
综上所述：
在0≤t≤6中,当t=4时,△APQ的面积恰好为△ABC面积一半；
在6≤t≤16中,当t=8时,△AQC的面积恰好为△ABC面积一半．