（2012•成华区一模）已知两直线l1、l2分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如

Question

（2012•成华区一模）已知两直线l₁、l₂分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的(3)/(2)倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线l₁按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC=√(OA•OB)=√(3)，则 C（0，-√(3)）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-√(3)，a=(√(3))/(3)
∴抛物线的解析式：y=(√(3))/(3)（x+1）（x-3）=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)．

（2）易知OA=3、OB=1、OC=√(3)，则：S_△ABC=(1)/(2)AB•OC=(1)/(2)×4×√(3)=2√(3)．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S_△ABP=(1)/(2)S_△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为(√(3))/(2)；
令y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)=(√(3))/(2)，化简得：2x²-4x-9=0
解得 x=(2±√(22))/(2)；
∴P₁（(2−√(22))/(2)，(√(3))/(2)）、P₂（(2+√(22))/(2)，(√(3))/(2)）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于(1)/(2)S_△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S_△ACP=(1)/(2)AC•h=(1)/(2)S_△ABC=√(3)，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l₁，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=(2√(3))/(3)、OE=OC+CE=(5√(3))/(3)，点E（0，-(5√(3))/(3)）
∴直线DE：y=(√(3))/(3)x--(5√(3))/(3)，联立抛物线的解析式，有：

y＝(√(3))/(3)x−(5√(3))/(3)

y＝(√(3))/(3)x2−(2√(3))/(3)x−√(3)

，解得：

x1＝1

y1＝−(4)/(3)√(3)

、

x2＝2

y2＝−√(3)

∴P₃（1，-(4√(3))/(3)）、P₄（2，-√(3)）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（(2−√(22))/(2)，(√(3))/(2)）、（(2+√(22))/(2)，(√(3))/(2)）、（1，-(4√(3))/(3)）、（2，-√(3)）．

（3）由（1）知：y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)=(√(3))/(3)（x-1）²-(4√(3))/(3)，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=√(3)，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-√(3)），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-√(3)x-√(3)，则 K（1，-2√(3)），CK=√((−1−0)2+(−2√(3)+√(3))2)=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l₁的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30