在平面直角坐标系中 已知a (3,0 ),B(0,4),O为坐标原点,以点P为圆心的圆P半径为1,动点P在三角形ABC内运动,圆P与三角形OAB的三边有四个交点,求P点形成区域的面积

Question

在平面直角坐标系中 已知a (3,0 ),B(0,4),O为坐标原点,以点P为圆心的圆P半径为1
,动点P在三角形ABC内运动,圆P与三角形OAB的三边有四个交点,求P点形成区域的面积

Answer 1

上图黄色区域即为所求,面积为  47 - 6π / 12
解题思路：先如图取一个满足条件的圆,然后再找临界状况.
第一种临界：与三边相切,即三角形内三条蓝色的直线
第二种临界：圆只与三角形的一个角相交,有两个顶点,即图内三个扇形
所以阴影部分即为所求


可以求出来AB的方程：4/3 x + y - 4 = 0
当x=1时,y= 8/3
这样上方的平行四边形的面积为 5/3
当y=1时,x= 9/4
这样右方的平行四边形的面积为 5/4
正方形面积为1   三个扇形正好为半径为1的半圆
所以最终结果为三个四边形面积之和减去半圆   即  47 - 6π / 12