如图所示，一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E=1.0×105N/C、与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中．杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q=+4.5×10-6C；另一带电小球B

Question

如图所示，一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E=1.0×10⁵N/C、与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中．杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q=+4.5×10^-6C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q=+1.0×10^-6C，质量m=1.0×10^-2kg．现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．（静电力常量k=9.0×10⁹N•m²/C²，取g=l0m/s²） 

（1）小球B开始运动时的加速度为多大？
（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h₁为多大？
（3）小球B从N端运动到距M端的高度h₂=0.61m时，速度为v=1.0m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少？

Answer 1

（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，
将电场力沿杆的方向和垂直杆的方向分解，由牛顿第二定律得：
mg-(kQq)/(L2)-qEsinθ=ma
解得：a=g-(kQq)/(L2m)−(qEsinθ)/(m)
代入数据解得：a=3.2 m/s²．
（2）小球B向下运动，受A的斥力增大，加速度减小，速度增大，
当小球B速度最大时合力减为零，
即(kQq)/(h21)+qEsinθ=mg
解得：h₁=√((kQq)/(mg−qEsinθ))
代入数据解得：h₁=0.9 m．
（3）小球B从开始运动到速度为v的过程中，设重力做功为W₁，电场力做功为W₂，库仑力做功为W₃，
根据动能定理有：W₁+W₂+W₃=(1)/(2)mv²
W₁=mg（L-h₂）
W₂=-qE（L-h₂）sinθ
解得：W₃=(1)/(2)mv²-mg（L-h₂）+qE（L-h₂）sinθ
从功能角度来说，电势能的改变量的大小就等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增大．
动能的改变量就等于总功．
设小球B的电势能改变了△Ep，则：△E_p=-（W₂+W₃）
△E_p=mg（L-h₂）-(1)/(2)mv²
解得：△E_p=8.4×10^-2J
答：（1）小球B开始运动时的加速度为3.2 m/s² ；
（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h₁为0.9 m；
（3）小此过程中小球B的电势能改变了8.4×10^-2J．