已知双曲线x^2-y^2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数.

Question

已知双曲线x^2-y^2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数.

Answer 1

双曲线顶点为(±2,0)
双曲线渐近线为y=±x
直线l:y=k(x-1),则x=y/k+1=my+1
∴直线过点(1,0)
分析：
①当直线位于竖直至与双曲线右侧相切之间时无公共点
②当直线与双曲线右侧相切时有一个公共点
③当直线位于与双曲线右侧相切至与渐近线平行之间时有两个公共点
④当直线与渐近线平行时有一个公共点
⑤当直线位于与渐近线平行至水平有两个公共点
∴重点为寻找切点
y′=x/y
令切点坐标为(x,y)
y/(x-1)=y′=x/y
∴x²-x=y²
∴x²-y²=x=4
∴切点为(4,±2√3)
∴切线方程为：y=±(2√3/3)(x-1),k=±2√3/3
∴
①当k∈(-∞,-2√3/3)∪(2√3/3,+∞)时无公共点
②当k=±2√3/3时有一个公共点
③当k∈(-2√3/3,-1)∪(1,2√3/3)时有两个公共点
④当k=±1时有一个公共点
⑤当k∈(-1,1)时有两个公共点