教材上说：“设空间曲线C一般方程为{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0},消去Z后得H（x,y)=0,则{H(x,y)=0,z=0}所表示的曲线必定包含空间曲线C在xoy面上的投影”,请问这里“必定包含”是什么意思?我觉得可以把“

Question

教材上说：“设空间曲线C一般方程为{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0},消去Z后得H（x,y)=0,则{H(x,y)=0,z=0}所表示的曲线必定包含空间曲线C在xoy面上的投影”,请问这里“必定包含”是什么意思?我觉得可以把“包含”两字去掉,所表示的曲线就是空间曲线C在xoy面上的投影,如果不对,能否举个反例
老师给的解答:”举个符合题意的例子 C：x=z^(1/2),y=z^(1/3),
消去z,得到y=x^(2/3).投影曲线为y=x^(2/3),z=0.”我认为这个不是反例!是不是老师写错了?应该是投影曲线为y=x^(2/3),z>0?
到底是我理解错了还是老师的错?

Answer 1

你可以这样理解 ,在消去z的过程中 其实是没有对x,y,z加以限制的,但题目实际上可能对xyz有限制.所以你联立方程解出来的投影曲线是 整个xoy平面的,所以说是包含你需要求的投影.
比如 你老师的这个例子,实际上x＞0,y∈R的,而求出来的投影曲线 x∈R,y＞0的,两个得取交集,x,y均＞0 .
就也是说 [ h（x,y）,x=0] 可能是x,y都∈R的时候的投影,包含了所有的x,y有限制的投影.