（2012•恩施州）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=51

Question

（2012•恩施州）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=(5)/(13)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=(1)/(2)∠AOF=30°

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=(1)/(2)BE=5
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=(5)/(13)，
∴CE=(EG)/(sin∠ECG)=13
∴CG=√(CE2−EG2)=12，
又∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得(AD)/(CG)=(DE)/(GE)
∴AD=(DE)/(GE)•CG=(24)/(5)
∴⊙O的半径为=2AD=(48)/(5)．