不定积分∫1/（1+e^x）dx有多少种解法?

Question

不定积分 ∫1/（1+e^x）dx有多少种解法?

Answer 1

1、第一类换元法
∫1/(1+e^x)dx＝∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx＝-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))＝-ln(1+e^(-x))＋C＝-ln((1+e^x)/e^x)＋C＝x-ln(1+e^x)＋C
或
∫1/(1+e^x)dx＝∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx＝x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)＝x-ln(1+e^x)＋C
2、第二类换元法
令t＝e^x,则x＝lnt,dx＝dt/t
∫1/(1+e^x)dx＝∫1/(t(1+t))dt＝∫ (1/t-1/(t+1))dt＝ln|t| - ln|1+t|＋C＝x-ln(1+e^x)＋C
或者把1+e^x换作t也可以