计算∫(上限+∞下限0)xe^(-x)/(1+e^(-x))^2其中过程是∫xe^(-x)dx/(1+e^(-x))^2=∫xe^xdx/(1+e^x)^2=∫xde^x/(1+e^x)^2=∫xd(-1/(1+e^x))=-x/(1+e^x)+∫dx/(1+e^x)=-x/(1+e^x)+∫e^(-x)dx/(1+e^(-x))=-x/(1+e^x)-∫d(1+e^(-x))/(1+e^(-x))=-x/(1+e^

Question

计算∫(上限+∞下限0)xe^(-x)/(1+e^(-x))^2
其中过程是
∫xe^(-x)dx/(1+e^(-x))^2
=∫xe^xdx/(1+e^x)^2
=∫xde^x/(1+e^x)^2
=∫xd(-1/(1+e^x))
=-x/(1+e^x)+∫dx/(1+e^x)
=-x/(1+e^x)+∫e^(-x)dx/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-∫d(1+e^(-x))/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|+C
lim(x→+∞) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=0
lim(x→0) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=-ln2
∫[0,+∞] xe^(-x)/(1+e^(-x))^2=0-(- ln2)=ln2
为什么第一个等号中把-x替换成x时积分上下限没有改变呢

Answer 1

不用，那不是用换元法，只是分子和分母同乘e^(2x)而已

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