在正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线AB于点M，交直线CD于点F．（1）当点E在线段BC上时，如图①，求证：BE=BM+CF；（提示：过点C作CN∥FM交直线AB的于点N）（2）当

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在正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线AB于点M，交直线CD于点F．
（1）当点E在线段BC上时，如图①，求证：BE=BM+CF；（提示：过点C作CN∥FM交直线AB的于点N）
（2）当点E在线段BC的延长线上时，如图②；当点E在线段CB的延长线上时，如图③；线段BE、BM、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明；
（3）若S_{正方形ABCD}=324，sin∠FEC=

，则MB=___，CF=___．
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答案和解析

（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，交AE于G，如图1所示：

则四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，CF=HB，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∵∠AGH=∠FGE，
∴∠EAB=∠HFM，
在△ABE和△FHM中，

∠EAB=∠HFM

AB=FH

∠ABE=∠FHM

，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HM=BE，
∴BE=BM+CF；
（2） ①当点E在线段BC的延长线上时，BE=BM-CF，理由如下：

过点F作FH⊥AM于H，如图2所示：
则四边形FHBC为矩形，
∴FH=BC=AB，CF=BH，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABE=∠AEM=∠FHM=90°，
∵∠MFH=∠MEB，
∴∠EAB=∠HFM，
在△ABE和△FHM中，

∠EAB=∠HFM

AB=FH

∠ABE=∠FHM

，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HM=BE，
∵HM=BM-BH=BM-CF，
∴BE=BM-CF；
②当点E在线段CB的延长线上时，BE=CF-BM，理由如下：
过点M作MH⊥DF于H，如图3所示：

则四边形BCHM为矩形，
∴MH=BC=AB，CH=BM，
∵正方形ABCD，AE⊥FM，
∴∠ABE=∠AEF=∠FHM=90°，
∵∠FMH=∠MEB，
∴∠EAB=∠FMH，
在△ABE和△FHM中，

∠EAB=∠HFM

AB=FH

∠ABE=∠FHM

，
∴△ABE≌△FHM（ASA），
∴HF=BE，
∵HF=CF-CH=CF-BM，
∴BE=CF-BM；
（3） ∵S_{正方形ABCD}=324，
∴正方形ABCD的边长为18；
分三种情况讨论：
①当点E在线段BC上时，
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠FEC+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴sin∠BAE=sin∠FEC=

，
∴tan∠BAE=

，
∴BE=24，
∵BE<AB，
∴BE<18，
∴不合题意；
②当点E在线段BC的延长线上时，
同①得出：BE=24，
∴CE=24-18=6，
∴CF=

CE=

×6=8，
∴MB=BE+CF=24+8=32；
③当点E在线段CB的延长线上时，
同①得出：BE=24，
∵tan∠FEC=

，
∴MB=

BE=