如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）．（1）在图1中画图探究：当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆

Question

如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，点P为直线CD上一点（不与点C重合）．
（1）在图1中画图探究：
当点P在CD延长线上时，连结EP并把EP绕点E逆时针旋转90°得到线段EQ．作直线QF交直线CD于H，求证：QF⊥CD．
（2）探究：结合（1）中的画图步骤，分析线段QH、PH与CE之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在，直接填写这个关系式．
①当点P在CD延长线上且位于H点右边时，______；
②当点P在边CD上时，______．
（3）若AD=2AB=6，AE=1，连接DF，过P、F两点作⊙M，使⊙M同时与直线CD、DF相切，求⊙M的半径是多少？

Answer 1

（1）由旋转的性质得，PE=QE，EF=ED，
∵∠QEF+∠FEP=∠PEQ=90°，
∠PEC+∠FEP=∠CEF=90°，
∴∠PEC=∠QEF，
在△PEC和△QEF中，

PE＝QE

∠PEC＝∠QEF

EF＝ED

，
∴△PEC≌△QEF（SAS），
∴∠QFE=∠PCE=90°，
∵∠FEC+∠PCE=90°+90°=180°，
∴EF∥CD，
∴∠QHC=∠QFE=90°，
∴QF⊥CD；

（2）∵△PEC≌△QEF，
∴QF=PC，
∵∠PCE=∠CEF=∠QHC=90°，CE=EF，
∴四边形EFHC是正方形，
∴CH=FH=CE，
①如图1，当点P在CD延长线上且位于H点右边时，QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE，
∴QH-PH=2CE；
②如图2，当点P在边CD上时，QH=QF+FH=PC+FH=CH-PH+FH=2CE-PH，
∴QF+PH=2CE；

（3）∵AD=6，AE=1，
∴DE=5，
在Rt△CDE中，CE=√(DE2−CD2)=√(52−32)=4，
∴DH=CH-CD=CE-CD=4-3=1，
在Rt△DFH中，FD=√(FH2+DH2)=√(42+12)=√(17)，
如图，过点M作MN⊥FH于N，
则四边形PMNH是矩形，
∵⊙M同时与直线CD、DF相切，
∴DP=FD=√(17)，
设⊙M的半径是r，
①点P在点D的右边时，在Rt△MNF中，FN=4-r，MN=√(17)-1，
由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，
即（4-r）²+（√(17)-1）²=r²，
解得r=(17−√(17))/(4)，
②点P在点D的左边时，在Rt△MNF中，FN=r-4，MN=√(17)+1，
由勾股定理得，FN²+MN²=MF²，
即（r-4）²+（√(17)+1）²=r²，
解得r=(17+√(17))/(4)，
综上所述，⊙M的半径是(17−√(17))/(4)或(17+√(17))/(4)．