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(x^2-2x+5)*e^(-x)的不定积分
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(x^2-2x+5)*e^(-x)的不定积分
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答案和解析
∫ (x²-2x+5)*e^(-x) dx
= -∫ (x²-2x+5) de^(-x),第一次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) + ∫ e^(-x) d(x²-2x+5),第一次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) + 2∫ (x-1)*e^(-x) dx
= -(x²-2x+5)*e^(-x) - 2∫ (x-1) de^(-x),第二次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) - 2(x-1)*e^(-x) + 2∫ e^(-x) d(x-1),第二次分部积分法
= (-x²e^-x + 2xe^-x - 5e^-x) - (2xe^-x - 2e^-x) - 2e^(-x) + C
= -x²e^-x + 2xe^-x - 5e^-x - 2xe^-x + 2e^-x - 2e^-x + C
= -x²e^-x -5e^-x + C
= -(x²+5)*e^(-x) + C
= -∫ (x²-2x+5) de^(-x),第一次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) + ∫ e^(-x) d(x²-2x+5),第一次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) + 2∫ (x-1)*e^(-x) dx
= -(x²-2x+5)*e^(-x) - 2∫ (x-1) de^(-x),第二次分部积分法
= -(x²-2x+5)*e^(-x) - 2(x-1)*e^(-x) + 2∫ e^(-x) d(x-1),第二次分部积分法
= (-x²e^-x + 2xe^-x - 5e^-x) - (2xe^-x - 2e^-x) - 2e^(-x) + C
= -x²e^-x + 2xe^-x - 5e^-x - 2xe^-x + 2e^-x - 2e^-x + C
= -x²e^-x -5e^-x + C
= -(x²+5)*e^(-x) + C
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