已知二次函数,若a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成等比数列,证明f(a)=a

Question

已知二次函数,若a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成等比数列,证明f(a)=a

Answer 1

要证明f(a)=a,就必须列出等式,没有等式就构造等式.
为了简便易懂,可以设t=f(f(a)),f(t)=f(f(f(a)))
明显的就要构造出等式a=t就能证出要证的结论,
所以a,f(a),t,f(t)成等比数列,
就有af(t)=tf(a),可以发现式子有对称性,
不妨转换成f(t)/f(a)=t/a,
我们就可以构造函数g（x）=f(f(x))/x,
上式就等价于g(f(a))=g(a).
因为f(x)是二次函数,可以很容易的知道g（x）在其指定区间内是单调函数
就有f(a)=a.