数列题!f(x,y)对所有实数x,y都满足：f(0,y)=y+1,f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]（3）若bn=f(3,n)+3求证bn也是等比数列（4）求f(3,2008)

Question

数列题!f(x,y)对所有实数x,y都满足：f(0,y)=y+1,f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]
（3）若bn=f(3,n)+3求证bn也是等比数列
（4）求f(3,2008)

Answer 1

（3）令x=0则f(1,0)=f(0,1)=1+1=2 再令x=0,y=0的f(1,1)=f[0,f(1,0)]=f(1,0)+1=3
令x=0,y=n得f(1,n+1)=f[0,f(1,n)=f(1,n)+1 则{f(1,n)}是首项为f(1,1)=3公差为1的等差数列
故f(1,n)=3+n-1=n+2
则f(2,0)=f(1,1)=3 则f(2,1)=f[1,f(2,0)]=f(2,0)+2=5
再令x=1,y=n得f(2,n+1)=f[1,f(2,n)=f(2,n)+2 则{f(1,n)}是首项为f(2,1)=5公差为2的等差数列
故f(2,n)=5+2(n-2)=2n+3
再令x=2,y=n得f(3,n+1)=f[2,f(3,n)=2f(3,n)+3
即f(3,n+1)=2f(3,n)+3
故b(n+1)=f(3,n+1)+3=2f(3,n)+3+3=2[f(3,n)+3]=2bn
故{bn}是首项为f(3,1)+3=f[2,f(3,0)]=2f(3,0)+3=2f(2,1)+3=13公比为2的等比数列
（4）由（3）的bn=13*2^(n-1) 则f(3,n)=bn-3=13*2^(n-1) -3
故f(3,2008)=13*2^2007-3