设a>0,且f(x)在[a,+∞)满足:对于所有x,y属于[a,+∞),有|f(x)-f(y)|=0为常数).证明：1)f(x)/x在[a,+∞)有界2)f(x)/x在[a,+∞)上一致连续

Question

设a>0,且f(x)在[a,+∞)满足:对于所有x,y属于[a,+∞),有|f(x)-f(y)|=0为常数).
证明：1)f(x)/x 在[a,+∞)有界
2)f(x)/x 在[a,+∞)上一致连续

Answer 1

令y＝a得|f(x)－f(a)|<=k(x－a),因此有|f(x)|<=|f(a)|+k(x－a),除以x得
|f(x)|/x<=|f(a)|/x+k(1－a/x)<=|f(a)|+k.记M＝|f(a)|+k>0是|f(x)/x|的界.
对任意的x,y,有
|f(x)/x－f(y)/y|=|yf(x)－xf(y)|/xy<=|yf(x)－yf(y)|/xy+||yf(y)－xf(y)|/xy
<=|f(x)－f(y)|/x+|y－x||f(y)|/(yx)
<=k|y－x|/a+|y－x|*M/a
＝L|y－x|,其中L＝k/a+M/a,
由此知一致连续.