已知函数f（x）=xx+3，构造如下函数序列fn（x）：fn（x）=f[fn-1（x）]（x∈N*，且n≥2），其中f1（x）=f（x），（x＞0），则f3（x）=x13x+27x13x+27，函数fn（x）的值域为（0，23n−1）（0，23n−1）．

Question

已知函数f（x）=(x)/(x+3)，构造如下函数序列f_n（x）：f_n（x）=f[f_n-1（x）]（x∈N^*，且n≥2），其中f₁（x）=f（x），（x＞0），则f₃（x）=

(x)/(13x+27)

(x)/(13x+27)

，函数f_n（x）的值域为

（0，(2)/(3n−1)）

（0，(2)/(3n−1)）

．

Answer 1

根据定义可知f₂（x）=f[f₁（x）]=((x)/(x+3))/((x)/(x+3)+3)＝(x)/(4x+9)，
f₃（x）=f[f₂（x）]=((x)/(4x+9))/((x)/(4x+9)+3)＝(x)/(13x+27)，f₄（x）=(x)/(40x+81)，
所以f_n（x）═(x)/((1)/(2)(3n−1)x+3n)=(2)/(3n−1)⋅(x)/(x+(2⋅3n)/(3n−1))＜(2)/(3n−1)，
所以f_n（x）的值域为（0，(2)/(3n−1)）．
故答案为：(x)/(13x+27)，（0，(2)/(3n−1)）．