（2014•虹口区三模）已知函数f（x）=ax2+bx+5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（-1）=14．（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；（2）若f（x）在区间（-∞，-30.5）上单调递

Question

（2014•虹口区三模）已知函数f（x）=ax²+(b)/(x)+5（常数a，b∈R）满足f（1）+f（-1）=14．
（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在区间（-∞，-

3

0.5

）上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：f（x）恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{a_n}，使得(2)/(5)=q a1+q a2+q a3+…+q an+…成立．

Answer 1

（1）由f（1）+f（-1）=14得（a+b+5）+（a-b+5）=14，所以解得a=2；
所以f（x）=2x2+(b)/(x)+5，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当b=0时，对于定义域内的任意x，有f（-x）=f（x）=2x²+5，所以f（x）为偶函数．
当b≠0时，f（1）+f（-1）=14≠0，所以f（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函数；f（-1）-f（1）=-2b≠0，所以f（x）不是偶函数；
所以，b=0时f（x）为偶函数，b≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=4x−(b)/(x2)=(4x3−b)/(x2)=0，解得x=

3

(b)/(4)

，所以x∈（-∞，

3

(b)/(4)

）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，

3

(b)/(4)

）上单调递减，又f（x）在(−∞，−

3

0.5

)上单调递减，所以−

3

0.5

≤

3

(b)/(4)

，解得 b≥-2，所以b的最小值是-2．
（3）在（2）的条件下，f（x）=2x2−(2)/(x)+5；
当 x＜0时，f（x）＞0恒成立，函数f（x）在（-∞，0）上无零点；
当 x＞0时，f′（x）=4x+(2)/(x2)＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上递增，又f（(1)/(4)）=−(23)/(8)＜0，f（1）=5＞0；
∴f（x）在（(1)/(4)，1）上有一个零点q，即q∈((1)/(4)，1)，且f（q）=2

作业帮用户 2016-12-09