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已知函数(x∈R)。(1)求证：不论a为何值，f(x)在R上均为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值。
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已知函数 (x∈R)。(1)求证：不论a为何值，f(x)在R上均为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值。 |
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答案和解析
已知函数 (x∈R)。(1)求证：不论a为何值，f(x)在R上均为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值。 |
（1）证明：任取 ，且 ，则有 ， ①  ， ②由②-①，得   ，③又y=2 x 在R上为增函数，且  ，∴③中  ，∴ ，∴  ，∴不论a为何值，f(x)在R上均为增函数。 （2）函数  定义在R上，且是奇函数，∴f(0)=0，即有  ，∴a=1。 （3）在（2）的条件下有  ，又由（1）知  在R上为增函数，所以，  在[1，4]上为增函数，∴  ，  。 |
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