早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.(Ⅰ)求函数f(x)的极值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(I)f′(x)=3x2+4x+1,令f′(x)=0,
解得x1=−1或x2=−
.
列表如下:
∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;
当x=−
时,f(x)取得极小值为−
.
(II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,
∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞),
若2-a≥0,显然F(x)min=4>0,
若2-a<0,F′(x)=3x2+(4-2a)x,令F′(x)=0,解得x=0或x=
,
当0<x<
时,F′(x)<0;当x>
时,F′(x)>0.
∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(
)≥0,即(
)3−(a−2)(
)2+4≥0,
∴2<a≤5,
当x=0时,F(x)=4满足题意.
综上所述a的取值范围为(-∞,5].
解得x1=−1或x2=−
1 |
3 |
列表如下:
x | (-∞,-1) | -1 | (−1,−
| −
| (−
| ||||||
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
f(x) | 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
当x=−
1 |
3 |
112 |
27 |
(II)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,
∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞),
若2-a≥0,显然F(x)min=4>0,
若2-a<0,F′(x)=3x2+(4-2a)x,令F′(x)=0,解得x=0或x=
2a−4 |
3 |
当0<x<
2a−4 |
3 |
2a−4 |
3 |
∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F(
2a−4 |
3 |
2a−4 |
3 |
2a−4 |
3 |
∴2<a≤5,
当x=0时,F(x)=4满足题意.
综上所述a的取值范围为(-∞,5].
看了 已知函数f(x)=x3+2x...的网友还看了以下:
已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N 2020-04-06 …
matlab解符号方程的一个问题syms g m1 m2 m3 m4 m5 A=[g m2 0 0 2020-05-16 …
设f(x),g(x)在[0,1],上的导数连续,且f(0)=0,f'(x),g'(x)>=0.证明 2020-06-11 …
在“把电流表改装为电压表”的实验中,测电流表G的内阻时备有下列器材:A.待测电流表(量程lmA,内 2020-06-30 …
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′ 2020-07-04 …
设函数f(x)=g(x)sin1/x(x不得于0);0(x=0)高数题设函数f(x)=g(x)si 2020-07-16 …
已知f(x),g(x)都是奇函数f(x)>0的x∈(a,b),g(x)>0的解集是x∈(a/2,b 2020-07-30 …
一定条件下的可逆反应2X(g)+3Y(g)、=2Z(g),ruoXYZ的起始浓度为C1C2C3,当 2020-07-30 …
若lim(x->0)f(x)=0,则当g(x)有界,必有lim(x->0)f(x)g(x)=0A. 2020-07-31 …
化学平衡题,2SO2(g)+O2(g)----2SO3(g)以下哪一种情况平衡不能成立在1公升容器内 2021-01-22 …