已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)有两个相等的实数根.1）求f（x）（2）是否存在实数m,n,使函数f（x）在[m,n]上的值域为[3m,3n]?为什么?

Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)有两个相等的实数根.
1）求f（x）
（2）是否存在实数m,n,使函数f（x）在[m,n]上的值域为[3m,3n]?为什么?

Answer 1

题目不全,方程不完整：方程f(x)=?
假设方程为：f(x)=x有两个相等的实数根
（1）f(0)=0
a*0^2+b*0+c=0
c=0
f(x)=ax^2+bx
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a
f(1-x)=f(1+x)：对称轴x=1
-b/2a=1
b=-2a
f(x)=x
ax^2+bx=x
ax^2+(b-1)x=0
有两个相等的实数根
Δ=0
(b-1)^2-4a*0=0
(b-1)^2=0
b=1
f(2)=f(0)=0
a*2^2+2b=0
4a+2*1=0
a=-1/2
解析式：f(x)=-1/2x^2+x
（2）f(x)=3x
-1/2x^2+x=3x
x^2+4x=0
x(x+4)=0
x1=-4
x2=0
当m=-4时,f(m)=-1/2(-4)^2-4
=-12
=3m
当n=0时,f(n)=-1/2*0^2+0
=0
=3n
∴存在这样的实数m、n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n].