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已知函数f(x)=ax2-lnx(a为常数).(1)当a=12时,求f(x)的单调递减区间;(2)若a<0,且对任意的.x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.

题目详情
已知函数f(x)=ax2-lnx(a为常数).
(1)当a=
1
2
时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若a<0,且对任意的.x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)对于函数y=
1
2
x2-lnx,易得其定义域为{x|x>0},
y′=x-
1
x
=
x2−1
x

x2−1
x
≤0,
又由x>0,则
x2−1
x
≤0⇔x2-1≤0,且x>0;
解可得0<x≤1,
即函数y=
1
2
x2-lnx的单调递减区间为(0,1],
(2)由已知得x∈[1,e]时,f(x)≥(a-2)x恒成立,即x∈[1,e]时,ax2-lnx-(a-2)x≥0恒成立.
即a≥
lnx−2x
x2−x

设g(x)=
lnx−2x
x2−x
,g′(x)=
(
1
x
−2)(x2−x)−(lnx−2x)(2x−1)
(x2−x)2

当x>1时,g'(x)>0,
∴g(x)在区间(1,+∞)上递增,
∴当x∈[1,e]时,g(x)≤g(e)=
1−2e
e2−e

故若a<0,且对任意的.x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,实数a的取值范围为a≥
1−2e
e2−e
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