已知函数f（x）=ax2-lnx（a为常数）．（1）当a＝12时，求f（x）的单调递减区间；（2）若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax²-lnx（a为常数）．
（1）当a＝(1)/(2)时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）对于函数y=(1)/(2)x²-lnx，易得其定义域为{x|x＞0}，
y′=x-(1)/(x)=(x2−1)/(x)，
令 (x2−1)/(x)≤0，
又由x＞0，则 (x2−1)/(x)≤0⇔x²-1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函数y=(1)/(2)x²-lnx的单调递减区间为（0，1]，
（2）由已知得x∈[1，e]时，f（x）≥（a-2）x恒成立，即x∈[1，e]时，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥(lnx−2x)/(x2−x)，
设g（x）=(lnx−2x)/(x2−x)，g′（x）=(((1)/(x)−2)(x2−x)−(lnx−2x)(2x−1))/((x2−x)2)，
当x＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，
∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=(1−2e)/(e2−e)，
故若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，实数a的取值范围为a≥(1−2e)/(e2−e)．