多元函数的连续和极限题(x^2+y^2)不为0时,f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^2)；(x^2+y^2)为0时,f(x,y)=0,讨论这个函数在原点的连续性,偏导数的存在性,是否可微.

Question

多元函数的连续和极限题
(x^2+y^2) 不为0时,f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^2)；(x^2+y^2) 为0时,f(x,y)=0,讨论这个函数在原点的连续性,偏导数的存在性,是否可微.

Answer 1

首先x²+y² ≥ 2|xy|,故1/2 ≥ |xy|/(x²+y²) ≥ 0,于是|y|/2 ≥ |xy²/(x²+y²)| = |f(x,y)| ≥ 0.
当(x,y) → (0,0)时,|y|/2 → 0,因此f(x,y) → 0 = f(0,0),函数在原点连续.
在f(x,y)在原点对x的偏导即f(x,0)对x的导数.
f(x,0) = 0对任意x成立,故∂f/∂x在原点存在并等于0.
同理,由f(0,y) = 0对任意y成立,∂f/∂y也在原点存在并等于0.
由定义,f(x,y)在原点可微即f(x,y)-f(0,0)-x·∂f(0,0)/∂x-y·∂f(0,0)/∂y = o(√(x²+y²)).
代入f(0,0) = 0,∂f(0,0)/∂x = ∂f(0,0)/∂y = 0即f(x,y) = o(√(x²+y²)).
然而对x = y,有f(x,y) = f(x,x) = x³/(2x²) = x/2 = √(x²+y²)/(2√2).
因此(x,y) → (0,0)时,f(x,y)并不是√(x²+y²)的高阶无穷小,也即f(x,y)在原点不可微.
注:也可以用另一种说法:f(x,y)在原点对向量(1,1)的方向导数 = 1/2,
并不等于(1,1)·(∂f(0,0)/∂x,∂f(0,0)/∂y) = ∂f(0,0)/∂x+∂f(0,0)/∂y = 0,因此在原点不可微.