设f（x）的定义域为R＋,对任意x,y∈R＋,都有f（x/y）=f（x）－f（y）,且x＞1时,f（x）＜0,又f（1/2）=11.计算f（1）,f（2）的值2.求证f（x）在定义域上单调递减3.解不等式f（x）+f（5-x）≥－2

Question

设f（x）的定义域为R＋,对任意x,y∈R＋,都有f（x/y）=f（x）－f（y）,且x＞1时,f（x）＜0,又f（1/2）=1
1.计算f（1）,f（2）的值
2.求证f（x）在定义域上单调递减
3.解不等式f（x）+f（5-x）≥－2

Answer 1

f(x/y)=f(x)-f(y)
∴f(5-x)=f(x(5-x)/x)=f(x(5-x))-f(x)
∴f(x)+f(5-x)=f(x(5-x)=f(5x-x²)>=-2
1.令x=y=1,则f(1/1)=f(1)-f(1)=0, 即f(1)=0
令x=1,y=1/2,则f(2)=f(1/(1/2))=f(1)-f(1/2)=0-1=-1
2.对任意x1>x2>0, x1/x2>1,f(x1/x2)<0
∴f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0,f(x1)∴f(x)是定义域上的减函数
3.令x=4,y=2, 则f(4/2)=f(4)-f(2), ∴f(4)=2f(2)=-2
∴f(5x-x²)>=f(4)
定义域:x>0,5-x>0, ∴0∴5x-x²<=4
∴x²-5x+4=(x-1)(x-4)>=0, x>=4或x<=1
综上,0

作业帮用户 2017-10-10