设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

Question

设函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=(ex)/(x)，f（2）=(e2)/(8)，则x＞0时，f（x）（　　）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值

Answer 1

∵函数f（x）满足x2f′(x)+2xf(x)=(ex)/(x)，
∴[x2f(x)]′=(ex)/(x)
令F（x）=x²f（x），则F′（x）=(ex)/(x)，
F（2）=4•f（2）=(e2)/(2)．
由x2f′(x)+2xf(x)=(ex)/(x)，得f′（x）=(ex-2F(x))/(x3)，
令φ（x）=e^x-2F（x），则φ′（x）=e^x-2F′（x）=(ex(x-2))/(x)．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e²-2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选D．