设函数f（x）的导数在x=a处连续，又limx→af′(x)x−a=-1，则（）A．x=a是f（x）的极小值点B．x=a是f（x）的极大值点C．（a，f（a））是曲线y=f（x）的拐点D．x=a不是f（x）的极值点，（a，f

Question

设函数f（x）的导数在x=a处连续，又

lim

x→a

(f′(x))/(x−a)=-1，则（　　）

A．x=a是f（x）的极小值点
B．x=a是f（x）的极大值点
C．（a，f（a））是曲线y=f（x）的拐点
D．x=a不是f（x）的极值点，（a，f（a））也不是曲线y=f（x）的拐点

Answer 1

由于

lim

x→a

(f′(x))/(x−a)＝−1，当x→a时，x-a→0，
因此：当x→a时，

lim

x→a

f′(x)=0．
假设

lim

x→a

f′(x)=b（b为常数，但b≠0，且b可以为∞），则有

lim

x→a

(f′(x))/(x−a)=(b)/(0)=∞≠-1，
因此，只有当

lim

x→a

f′(x)=0，才有可能是

lim

x→a

(f′(x))/(x−a)=-1；

lim

x→a

f′(x)=0，且f'（x）在x=a处连续，
所以：f'（a）=0；
由导数定义有：
f''（a）=

lim

x→a

(f′(x)−f(a))/(x−a)=

lim

x→a

(f′(x))/(x−a)=-1；
即：f''（a）=-1＜0，二阶导数小于0，函数为凸函数；
由：f'（a）=0；故函数f（x）在x=a处取极大值．
故本题选：B．