设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限limx→0∫x0(x−t)f(t)dtx∫x0f(x−t)dt．

Question

设函数f（x）连续，且f（0）≠0，求极限

lim

x→0

(∫x0(x−t)f(t)dt)/(x∫x0f(x−t)dt)．

Answer 1

令x-t=u；
则：dt=d（-u）=-du；

∫

x 0

f(x−t)dt=

∫

0 x

f(u)d(−u)=

∫

x 0

f(u)du．
因此：

lim

x→0

(∫x0(x−t)f(t)dt)/(x∫x0f(x−t)dt)=

lim

x→0

(x∫x0f(t)dt−∫x0tf(t)dt)/(x∫x0f(u)du)
=

lim

x→0

(∫x0f(t)dt+xf(x)−xf(x))/(x∫x0f(u)du+xf(x))（洛必达法则）
=

lim

x→0

(∫x0f(t)dt)/(x∫x0f(u)du+xf(x))
=

lim

x→0

(f(x))/(f(x)+f(x)+xf′(x))（洛必达法则）
=(f(0))/(f(0)+f(0)+0)
=(1)/(2)．