已知函数z=f（x，y）的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f（1，1）=2．求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x2+y24≤1}上的最大值和最小值．

Question

已知函数z=f（x，y）的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f（1，1）=2．求f（x，y）在椭圆域D={（x，y）|x²+(y2)/(4)≤1}上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）首先考虑区域内部的情形．
由f（x，y） 的全微分表达式可知，
  (∂f)/(∂x)＝2x，(∂f)/(∂y)＝−2y．
因为 (∂f)/(∂x)＝2x，故可设 f（x，y）=x²+C（y）．
代入 (∂f)/(∂y)＝−2y，可得 C′（y）=-2y，从而 C（y）=-y²+C．
再由f（1，1）=2，得 C=2，故 f（x，y）=x²-y²+2．
令  (∂f)/(∂x)＝2x=0，(∂f)/(∂y)＝−2y=0，
求得 f（x，y） 的驻点为x=0，y=0． 
因为 A＝(∂2f)/(∂x2)=2，B＝(∂2f)/(∂x∂y)=0，C＝(∂2f)/(∂x2)=-2，
△=B²-AC=4＞0，所以点（0，0）不是极值点，从而也非最值点．
（2）再考虑其在边界曲线 x2+(y2)/(4)＝1 上的情形．
令拉格朗日函数为
F(x，y，λ)＝f(x，y)+λ(x2+(y2)/(4)−1)，
求解方程组 

F′x＝(∂f)/(∂x)+2λx＝2(1+λ)x＝0

F′y＝(∂f)/(∂y)+(λy)/(2)＝(−2+(λ)/(2))y＝0

F′λ＝x2+(y2)/(4)−1＝0

，
  
得F（x，y，λ）的所有驻点：（0，2，4），（0，-2，4），（1，0，-1），（-1，0，-1）．
代入f（x，y）得 f（0，±2）=-2，f（±1，0）=3．
综合（1）（2）可得，z=f（x，y）在区域D＝{(x，y)|x2+(y2)/(4)≤1}上的最大值为3，最小值为-2．