如图，已知曲线y=f（x）过原点及点（2，3），且f（x）单调，f′（x）连续，点（x，y）为曲线上任意点，图中曲边三角形面积S1=2S2，求f（x）．

Question

如图，已知曲线y=f（x）过原点及点（2，3），且f（x）单调，f′（x）连续，点（x，y）为曲线上任意点，图中曲边三角形面积S₁=2S₂，求f（x）．

Answer 1

利用定积分的几何意义可得，
S₁=

∫

x 0

f(t)dt，
S₂=xf（x）-S₁=xf（x）-

∫

x 0

f(t)dt．
由于S₁=2S₂，
所以

∫

x 0

f(t)dt=2xf（x）-2

∫

x 0

f(t)dt．
两边求导可得，
f（x）=2f（x）+2xf′（x）-2f（x），
即：f（x）=2xf′（x）．
分离变量可得，
(f′(x))/(f(x))＝(1)/(2x)．
两边积分可得，
ln|f（x）|=(1)/(2)ln|x|+C，
从而，f（x）=C√(x)．
已知曲线y=f（x）过原点及点（2，3），
故由f（2）=3可得，
C=(3√(2))/(2)，
故f（x）=(3√(2))/(2)√(x)．