已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＞0；（1）、判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）、若f（x）≤m2-2am+1对所有的x

Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有(f(a)+f(b))/(a+b)＞0；
（1）、判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）、若f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有(f(a)+f(b))/(a+b)＞0，
∴令x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[-1，1]，
则(f(x1)+f(-x2))/(x1+(-x2))=(f(x1)-f(x2 ))/(x1-x2)＞0，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数．…（6分）
（2）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
∵m²-2am+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，
∴g（a）=2ma-m²≤0对a∈[-1，1]恒成立，
∴

g(-1)=-2m-m2≤0

g(1)=2m-m2≤0

，
解得m≥2或m≤-2或m=0．…（12分）